Relativité
générale et Voyages interstellaires
Hypothèses concernant les voyages spatiaux en rapport avec la géométrisation de l’univers
Par Benjamin LISAN, 1979 (révision 22/7/2007).
1 Introduction
En plusieurs articles, nous avons tenté d’examiner la faisabilité des voyages spatiaux vers des étoiles et systèmes planétaires lointains.
Dans un précédent article de la revue GEOS, nous avions examiné la possibilité de se propulser dans l’atmosphère par la magnétohydrodynamique. Cette technique permettrait d’éviter les frottements dans l’air de tout aéronef, par contre celle-ci, si elle était mise au point, nécessiterait une très grande consommation d’énergie électrique [1].
Dans un autre article de la revue GEOS, nous avions présenté la « théorie synergétique » _ une « théorie » supposant l’existence d’un milieu énergétique caché dans l’espace qui pourrait être source d’énergie (pour une propulsion spatiale), que nous avions examiné et pour laquelle nous avions conclu qu’il n’y avait pas de preuves expérimentales avérées à cette « théorie ».
Aujourd’hui, nous aborderons les théories physiques admises actuellement, faisant intervenir la géométrisation de l’univers (avec l’utilisation d’espace non euclidiens de dimension supérieure à trois), en particulier, la Théorie de la Relativité générale.
Nous parlerons dans cette partie, du formaliste mathématique de la Relativité générale.
2 La relativité et les voyages interstellaires
2.1 Certains résultats de la théorie
La Relativité restreinte [1] (1905) et la Relativité générale [2][3][4] (1915) sont deux théories qui essayent de décrire les mouvements des corps, l’un par rapport à l’autre, la première dans des référentiels exemptes de toutes forces [2], l’autre dans le cas plus général des référentiels accélérés (par exemple dans un champ de gravitation).
La relativité restreinte affirme des faits assez étonnants pour notre expérience habituelle.
Cette théorie prend comme principe que la lumière est une constante, quelques soient le lieu et le déplacement du repère de mesure. Ainsi, un vaisseau spatial qui s’éloignerait à la vitesse « c » d’une étoile, verrait toujours la lumière de celle-ci lui arriver à la vitesse « c » (avec « c » vitesse de la lumière dans le vide, considérée par la Relativité comme une constante absolue).
Ou encore _ conséquence du principe de constance de la lumière _, l’explosion de deux étoiles, simultanée pour un observateur situé dans un vaisseau spatial, pourrait s’effectuer avec une heure d’intervalle pour un observateur situé dans un vaisseau spatial ayant un mouvement différent du premier.
Autre exemple, si une personne vivant à l’intérieur d’un vaisseau spatial voit tous les passagers à table à 14h, selon une autre personne, se déplaçant très rapidement par rapport au vaisseau, pourrait voir une horloge marquant à l’un des bouts du vaisseau 7 h et des passagers se levant du lit, puis voir une horloge marquant au milieu de vaisseau 14 h et des gens à table, enfin voir de l’autre côté du vaisseau des gens se coucher à 21 h.
Cette personne constaterait ainsi que les horloges de ce vaisseau semblent fonctionner au ralenti, tout comme les mouvements des gens dans ce vaisseau.
Plus l’observateur extérieur se déplacerait vite par rapport au 1er vaisseau, plus il verrait ce dernier engin diminuer le longueur.
Prenons deux jumeaux, l’un restant sur Terre, l’autre voyageant à une vitesse sub-lumineuse.
La Relativité dit que le second jumeau sera, à son retour, moins vieux que son frère, puisque le temps dans le vaisseau se sera écoulé plus lentement que lui.
Nous reviendrons sur ce paradoxe des jumeaux, appelé paradoxe des jumeaux de Langevin.
Un autre résultat à citer est l’augmentation de la masse d’un objet avec sa vitesse, masse qui pourrait devenir infinie, avec l’atteinte de la vitesse de la lumière. Nous n’insisterons pas plus longtemps sur ces faits, tirés de la Relativité, d’autres exposés en ayant déjà été donnés (Réf. [5] à [8]).
2.2 Le côté décevant des résultats de la Relativité en ce qui concerne les possibilités de voyages interstellaires
Par des considérations que nous n’aborderons pas ici, en Relativité, la vitesse de la lumière dans le vide est infranchissable ( [9], pages 10 et 356, ligne 7).
En supposant qu’on pourrait voyager à une vitesse proche de la vitesse de la lumière, pour atteindre l’étoile la plus proche, Proxima du Centaure, il nous faudrait 4 ans. En fait, pour que l’homme puisse supporter l’accélération de départ et d’arrivée, il lui faudrait beaucoup d’années. Par ailleurs, il faudrait emporter une source d’énergie considérable pour l’accélération et la désaccélération.
Des auteurs ont supposé [1] que l’on pourrait peut-être franchir rapidement [3] l’espace en entrant dans un fameux trou noir et en ressortant par un trou blanc. En fait, cet hypothétique moyen de voyager suppose l’existence d’un certain nombre de trous noir _ ce qui n’est pas très sûr _ et de trous blancs _ ce qui est encore moins sûr [4].
Einstein a supposé, dans une conférence [6] que l’espace était rempli d’énergie. Il faut supposer que l’espace est fermé. Si l’on suppose un rayon de l’univers de l’ordre de 1027 cm, alors la densité d’énergie de l’univers serait de 9.10-8 erg/cm3 [12]. Avec cette densité aussi faible, on imagine, dans nos recherches, difficilement une propulsion interstellaire prenant son énergie dans le milieu et/ou s’y « appuyant ».
D’un autre côté, il faut exister des densités d’énergie négative en Relativité. Celle-ci est donnée par la formule : W = - (Ñj)2 / 8.p.G avec G = 6,62.10-11 MKSA (constante de la gravitation universelle) et j le potentiel de gravitation ( [9], page 438). On pourrait peut-être supposer l’extraction possible de l’énergie de l’espace par la création de trous négatif ( !?) ou anti-matière. Mais tout cela reste des spéculations hautement hypothétiques [5].
3 Les critiques émises envers la Théorie de la Relativité
Les opposants du paradoxe de Langevin objectent que si l’on se place du point de vue du voyageur, c’est la Terre qui se déplace à grande vitesse et c’est donc son frère qui devrait vieillir moins vite ([10, page 155).
Pour nier cette réversibilité, les partisans du paradoxe des jumeaux de Langevin invoquent la dissymétrie du problème. La Terre poursuit sa course régulière, tandis que le voyageur subit des accélérations (croissantes, puis décroissantes), donc on ne peut pas appliquer la formule du ralentissement du temps, dans le référentiel du voyageur qui n’est plus galiléen ([9], page 10).
La plupart de opposant du paradoxe font l’erreur d’employer les formules du ralentissement du temps T = T0 . (1- v2 / c2 )1/2 et de la composition des vitesses w = (u + v) / (1 + u.v / c2 ), d’une façon systématique, sans employer d’horloges pour repérer les évènements, car il y a toujours des décalages (ou correction) de temps et de longueur, que l’on doit faire en changeant de référentiel. Par exemple, pour le livre [10], l’argument pages 155 et 156 s’écroule car les accélérations identiques vues de la Terre ne sont plus identiques lorsqu’on change de référentiel, ainsi que l’argument page 157 (et aussi ceux des référentiels [13] à [16]), car les décalages de temps n’ont pas été faits. Pour comprendre ces décalages de temps, se reporter à l’annexe du livre [22].
Une autre critique est que la Relativité générale ne tient plus compte de la constance de la vitesse de la lumière, postulée par Einstein en 1905, avec la Relativité restreinte ([5], page 84). En fait, celle-ci n’est pas implicitement faite en Relativité générale (ces variations de « c », la vitesse de la lumière, ne sont qu’apparentes en Relativité générale).
La seule critique intéressante à retenir _ si elle était vérifiée _ serait que l’indice de réfraction de l’atmosphère de la couronne solaire (qui n’a pas été pris en compte dans les calculs de la Relativité générale), pourrait occasionner ( ?) une déviation supplémentaire des rayons lumineux au voisinage du soleil.
Donc, il se pourrait que la déviation calculée, par la Relativité, additionnée de cette déviation supplémentaire ne concorde plus avec les résultats expérimentaux.
Malheureusement, il semblerait que personne ne l’a jamais calculé [18] [6] (Pour tout chercheur intéressé par le problème, consulter les ouvrage [19], [20], [21]).
4 Conclusion
La Relativité générale, en ce qui concerne les possibilités de voyages interstellaires, donne des perspectives décevantes, en ce qui concerne les possibilités les voyages interstellaires.
Cette théorie confirmée par plusieurs résultats expérimentaux semble montrer qu’on ne peut pas dépasser dans le vide (et l’espace interstellaire) la vitesse de la lumière [7], qui est une limite absolue.
Par ailleurs, à cause de la loi de la Relativité de l’augmentation, non linéaire, de la masse et de l’énergie cinétique, d’une masse, plus sa vitesse s’approche de celle de la lumière, jusqu’à s’approcher de l’infini, à proximité de cette vitesse, il faudrait pour pouvoir rejoindre rapidement l’étoile la plus proche, Proxima du Centaure, embarquer une énergie colossale dans le vaisseau spatial, ce qui rendrait la taille et le poids du vaisseau énorme ( !) [8].
Dans la pratique, les théoriciens, qui imaginent des
voyages spatiaux pour l’espèce humaine, envisagent des voyages s’effectuant en
plus de 1000 ans, pour rejoindre ne serait-ce que pour atteindre l’étoile où
semblerait exister une planète aux dimensions comparables à celles de la Terre
et potentiellement habitable ( ?) pour l’homme,
comme celle située à 20 années-lumières de notre Soleil et découverte récemment
en 2007 [9].
Elle indique donc que des voyages vers d’autres étoiles seraient particulièrement difficiles et qu’ils limiteront les possibilités de migrations de l’espèce humaine, vers d’autres systèmes planétaires.
Des questions de lenteur de la lumière dans le vide et de bilan énergétique [10], pour le voyage spatial du vaisseau, semblent interdire de façon durable des voyages suivis à l'extérieur d'un système solaire.
Ce qui expliquerait que malgré
l’énorme quantité d’étoiles dans l’univers [11], nous n’avons jamais
trouvé, actuellement, la preuve d’une civilisation extra-terrestre, dotée d’une
technologie supérieure à la notre (qu’elle nous ait visités ou non) [12].
5
Bibliographie
[1] Albert
Einstein, « Zur Elektrodynamik bewegter köper », Annelen der
Physik, 1905 (traduit en Français, « De l’électrodynamique des corps en
mouvement », Gauthier-Villard).
[2] Albert
Einstein, « Gravitation problem », 1913, Physic Zeitschr XIV.
[3] Albert
Einstein, « Die grunlage der Allgemeinen Relativitätstheorie », vierte
Folge Band, 1916, Annalen der Physik, n°7.
[4] Albert
Einstein, « DieEnergie Komponten das Gratitationsfeldes », 1913, Physic
Zeitschr, XIV.
[5] Albert Einstein, « La Relativité », Gauthier-Villars, 1956, réédité par Payot (Petite Bibliothèque Payot), 1964 & 1990.
[6] Albert Einstein, « La théorie de la Relativité restreinte et générale » (la relativité et le problème de l’espace), Gauthier-Villars, 1971, réédité par Dunod, 2000 & 2005 (ouvrage de vulgarisation).
[7] Perez & Pinard, « Introduction à la science des matériaux », page 80, Editions INSA Lyon [13].
[8] Soleillet, « Eléments de théorie de relativité restreinte », Centre de la documentation universitaire, 1965, Cours de la Sorbonne.
[9] Landau & Lifchitz, « Théorie des champs », Editions Mir, Moscou, 1970.
[10] Dr Jacques Scorniaux, « Les voyages interstellaires face à la relativité », page 141, in « La science face aux extra-terrestres », Jean-Claude Bourret, Editions France-Empire, 1977.
[11] Jean-Pierre Petit, « La route des étoiles », page 354, in « Le nouveau défi des OVNI », Jean-Claude Bourret, Editions France-Empire, 1985.
[12] Jean Emile Charon, « Cours de relativité générale », Ed. Kiester, 1965.
[13] Louis
Essen, « The clock paradox of relativity », Nature 180, p
1061, 1957.
[14] Louis
Essen, « Relativity and Time Signals », Wireles-Wold-Electronics /
Television / Radio / Audio, October 1978 and April 1979, Vol 85, n° 152.
[15] Louis
Essen, « Evaluation of some aspects of relativity », Proc. IEEE, vol. 115, n°12, dec. 1968.
[16] Louis
Essen, « The clock paradox of relativity », Royal society of
London, 1971.
[17] Louis
Essen, « The theory of relativity – a critical analysis »,
Oxford Press & Lavendon Press, 1969.
[18] Revue Synergétique n°20 (article de René-Louis Vallée) [14].
[19] John N.
Xanthakis, « Solar
Physics », Interscience
Publishers (John Wiley and Sons Ltd.), 1967
[20] Isaak
Samuilovic Shklovskii, « Physics of the Solar Corona », Pergamon
Press, 1965.
[21] L’indice de réfraction de l’hydrogène gaz, non ionisé, en lumière blanche, à la pression de 760 Torrs, à la température de 0 °C est de : 1,000137, selon le « Nouveau traité de chimie minérale », Tome 1, Paul Pascal, Masson, 1956. On ne connaît pas l’indice de réfraction d’un gaz de protons totalement ionisé (comme celui qui existe dans l’atmosphère de la couronne solaire).
[22] Paul Couderc, « La relativité », Que sais-je ?/ PUF, 1949 & 1969 (un excellent ouvrage de vulgarisation complet).
[23] L. SVITZER, « Physics of Fully-Ionized Gases », Interscience, 1962.
[24]
« The Solar Corona, Proceedings of Symposium E1 of the COSPAR Twenty-ninth
Plenary Meeting held in Washington », DC, USA, 28 August - 5 September 1992. Edited by, A.H. Gabriel,
Elsevier.
6 Annexe : présentation de la Relativité générale
6.1 Notation d’Einstein
·
Le vecteur 
(a1, a2,
a2, … an) s’écrit ai
·
Le tenseur carré
s’écrit aij . Le tenseur cubique 
(d’ordre 3) s’écrit aijk
· La sommation (a1 b1 + … + an bn ) s’écrit ai bi
·
La sommation 
s’écrit gij
ai bi
· Dès qu’il y a un indice se répétant plusieurs fois _ comme pour ai bi , gij ai bi _, cela indique une sommation.
· Il en est le même pour un tenseur où un indice est répété. Par exemple :
s’écrit
Rijk
·
Un produit indiqué ainsi ai bj (avec
deux indices différents) n’est pas une sommation mais un tenseur : 
· D’une manière générale, un terme avec n indices différents indique un tenseur d’ordre n. Par exemple Rijkl est un tenseur d’ordre 4.
·
En notation d’Einstein, on écrit aussi souvent
un vecteur avec un indice placé
en haut : ai (à ne pas confondre avec une puissance
« ième »).
C’est un formalisme donnant une écriture des formules mathématiques très compacte.
6.2 Espace vectoriel euclidien E
·
Si dans l’espace euclidien E, 
et 
se décomposent en aa et bb
dans le système orthonormé xa , alors le
produit vectoriel est : 
avec
= le tenseur unité = 
·
Si et se décomposent en ai et bj
dans le système yi (non orthonormé), alors 
avec gij
tenseur différent du tenseur unité mais qui peut être relié au tenseur unité
par la relation simple : 
(1)
·
D’une manière générale, les changements de
coordonnées entre deux systèmes dans cet espace sont très simples : 
(2)
· Dans un espace non euclidien, comme dans l’espace de Riemann de la Relativité générale, il n’en sera plus de même. On ne pourra jamais ramener le tenseur gij _ appelé tenseur métrique _, par des transformations de coordonnées appropriées au tenseur unité. Nous verrons qu’il ne faut plus utiliser la formule (2), ci-avant.
6.3 Composantes covariantes et contravariantes d’un vecteur
·
Les composantes contravariantes aj du
vecteur sont la décomposition
du vecteur suivant les parallèles aux n vecteurs de base : 
Attention : en
espace de Riemann, les axes de coordonnées sont courbes.
·
Les composantes covariantes [15] ai sont
la projection perpendiculaire de sur le n
vecteurs de base 
· On trouve que la relation entre composantes contravariantes et covariantes est :
ai = gij . aj (avec gij tenseur métrique).
· Il n’y a que dans le cas de l’espace euclidien avec un repère orthonormé que les composantes contravariantes et covariantes sont identiques.
6.4 Les différentielles dans un espace quelconque
|
Figure 1. |
Si ( Posons On appelle : |
Ces derniers _ formant une matrice d’ordre 3 (appartenant à
l’espace 
) _ ne constituent pas, par contre, un vrai
tenseur, car ne gardant pas la même forme avec un changement de référentiel.
Posons 
. On appelle 
et 
coefficient de connexion affine.
On a les relations suivantes :
Le symbole 
avec 
est le tenseur
asymétrique.
Dans l’espace riemannien ou euclidien : 
6.5 Dérivée covariante
6.5.1 Composante contravariante
Posons 
[17] donc
On appelle dérivée covariante de la composante contravariante ai la relation suivante :
(extension
de la notion de dérivée partielle).
On trouve que 
6.5.2 Composante convariante
On appelle dérivée contravariante de la composante
covariante : 
6.5.3 Relations sur les dérivées
(théorème
de Ricci).
Avec comme notation : 
Pour l’espace euclidien, les dérivées commutent : 
6.6 Symbole de Christofell contracté
Si l’on pose 
6.7 Opérateurs différentiels
. Si F est
un scalaire alors 
En coordonnées rectilignes, 
(la divergence
classique).
6.8 Espace de Riemann
6.8.1 Définition de l’espace de Riemann
1) C’est l’espace défini par un tenseur métrique symétrique gij .
Note : Dans l’espace d’Einstein, gij est un tenseur, formé par 10 éléments, fonctions continues et différentiables de l’espace yi .
6.8.2 Définition des géodésiques
C’est un axe de coordonnées dans l’espace de Riemann, tel que l’on peut faire un transport parallèle d’un vecteur, c’est à dire tel que :
(voir
figure 2 ci-après).
Figure 2
3) L’angle entre deux vecteurs reste le même dans un transport parallèle [20].
La géodésique est la distance la plus « courte » d’un point à un autre dans l’espace de Riemann.
6.9 Courbure de l’espace
Supposons un petit déplacement dy sur une géodésique, et un
autre dy
sur une autre géodésique, autour d’un point A (voir figure 3). Voyons le
déplacement parallèle d’un vecteur 
suivant le trajet A A1
A’ et A A2 A’. On constate en arrivant en A’, que 
.
|
Figure 3. |
On dit que l’espace a une courbure. Pour comprendre cela, on peut prendre le transport d’une allumette sur la face d’un ballon. On appelle tenseur de rotation
Si on exprime
|
on trouve alors que :
est appelé le tenseur de courbure.
Propriété de ce tenseur : 
On a 
(Identité de
Bianchi).
On appelle tenseur de Ricci, 
. On a 
6.10 Relativité générale
6.10.1 Postulats
1. 1er postulat : quelque soit le référentiel, les lois physiques conservent toujours la même forme (on dit que les lois physiques sont covariantes).
2. 2ème
postulat :Toutes les caractéristiques de
l’espace-temps peuvent être décrive au moyen d’un tenseur différentiel : 
,
1) exprimé dans un espace riemannien quadridimentionnel,
2) du 2ème ordre [21].
3) ne contenant pas de dérivées partielles supérieures du 2ème ordre.
4) linéaire par rapport aux dérivées partielles du 2ème ordre.
3. 3ème postulat : on suppose l’existence d’un tenseur d’énergie impulsion (comme celui défini par Maxwell), dépendant de la densité de masse r, des contraintes p, et du vecteur vitesse unitaire ua = dya / ds (avec ds2 = gab dya dyb ) et la distribution du tenseur électromagnétique de Maxell, tel que :
a) il y ait la conservation de
l’énergie-impulsion, c’est à dire : 
(1).
b) il y ait une relation
tensorielle entre composantes géométriques et physiques : 
(2) et donc 
(3)
6.10.2 Equations
Einstein, par des considérations n’entrant pas dans cet exposé, a supposé que Sab doit s’écrire :
Sab = C . ( Rab - ½. gab. R + L gab) (4)
Avec :
C : constante sans dimension,
Rab : tenseur de Ricci,
L : constante, appelée constante cosmologique (de dimension (1/L2 ), avec L : unité de longueur).
Cela afin de satisfaire au 2ème postulat et à l’équation (3) du 3ème postulat.
Le mathématicien Elie Cartan a démontré que cette forme Sab était unique. Donc (2) s’écrit :
Rab - ½. gab. R + L gab = - Tab (la constante C étant reportée sur le terme Tab ).
On assimile généralement l’espace-temps à un milieu continu.
Dans ce cas par analogie à la mécanique des milieux continus :
Tab = k (r . ua . ub + 1/c2 . Qab) (avec a, b = 1 à 4)
Avec :
u : vitesse unitaire,
k : constante,
Qab : tenseur des contraintes,
r : densité de masse.
En rajoutant le tenseur énergie-impulsion électromagnétique, on obtient :
Tab = k (r . ua . ub + Qab + Mab )
Note : on suppose qu’il n’y a pas de terme de couplage entre tenseur de tension (ou de contrainte) et le tenseur électromagnétique etc …).
Remarque : le tenseur électromagnétique [22] s’écrit :
Ici on emploi une notation particulière : 
Où Fab : tenseur
électromagnétique _ rotationnel du quadripotentiel électromagnétique 
:
Fab = ¶ajb - ¶bja
6.11 Courte bibliographie sur la Relativité générale
[1] Jean Emile Charon, « Cours de relativité générale », Ed. Kiester, 1965.
[2] Relativité générale (wikipedia) : http://fr.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A9_g%C3%A9n%C3%A9rale
[3] Mathématiques de la relativité générale (wikipedia) :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques_de_la_relativit%C3%A9_g%C3%A9n%C3%A9rale
[4] Symboles de Christoffel (wikipedia) : http://fr.wikipedia.org/wiki/Symboles_de_Christoffel
[5] Cours de
relativité générale, 2ème année du Master Sciences de l'Univers et
Technologies Spatiales de la Fédération des enseignements d'Astronomie et
d'Astrophysique d'Ile-de-France (cours transversal CT7), http://www.luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relat.html
[6] Elie Cartan, Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie). Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure Sér. 3, 41, 1924, p. 1-25, http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1924_3_41__1_0 (texte intégral : pdf).
[7] Théorème de Noether (physique), http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Noether_%28physique%29