Les dérivés d'ordres non entiers

 

Par B. LISAN (article réalisé en 1976).

 

 

L'idée était d'étendre les dérivés nième _ n appartenant à l’ensemble N (ensemble des nombres entiers) _, aux dérivés non entières. Deux voies s'offraient :

 

A) prendre les dérivés nièmes des fonctions connues (ex, log x, sin x, etc. ...)

et remplacer les n, dans les formules qu'on trouvait, par des r (r appartenant à l’ensemble R, ensemble des nombres rationnels).

 

Ex. : (sin x) = cos x ... (sin x) (n) = sin (x + n . p / 2) donc (sin x) (r) =  sin (x + r. p / 2)

 

Le premier inconvénient peut arriver quand on trouve deux formules égales de dérivés nièmes qui ne sont plus égales quand n n'est plus entier : alors laquelle choisir ?

 

Ex. : Si on cherche la dérivée nième de x m , on a :

 

(x m ) = m . x m - 1,  (x m ) ’’ = m . (m - 1) x m - 2, ... (x m ) (i)

 = m . (m - l) . (m - 2) ... (m - i + 1) . x m - i

 

ce qu'on peut encore écrire par :

 

[ G (m +1) . x m - i ] / G (m - i + 1) = (x m ) (i)   

 

avec G = gamma (fonction gamma) et avec « n » appartenant à l’ensemble N

 

quand on remplace "i" par "n", ce qui donne

[ G (m +1) . x m - n ] /   G (m - n + 1)   =    (x m ) (n)            

 

Puis on remplace "n" par "r", ce qui donne :

[ G (m +1) . x m - r  ] / G (m - r + 1)  =    (x m ) (r)  

 

donc, en posant m = - 1 ... pour la dérivée « ième » de 1/x, on trouve l'infini.

Mais si on cherche la dérivée de 1 / x, en dérivant successivement (1/x), on trouve :    

 

 ( 1 / x ) ( n ) = ( - 1) n . n ! / x n

 

en remplaçant n par r,  (r € R), on obtient :

 

( 1 / x ) ( r ) = ( - 1) r . G (r + 1) / x r + 1

qui est une expression complexe à cause du (- 1) r.

 

Ce deux façons de trouver la dérivée « rième » de 1/x ne donne pas le même résultat, et cela montre qu'il faut être assez prudent.                          .

Le second inconvénient de cette voie de recherche est de ne pas établir une formule générale pour les dérivées d'ordre « rième ».                        

 

B) La seconde voie est de chercher une formule générale de la dérivée « rième » et de l'étendre.                             

 

Effectivement, il existe une formule :

 

                         1             p                                                                    p        

 f (n) (x) =  lim     — ( S  C n  (-1) p. f (x + (n – p). h ))   avec C n  =  n ! / ((n + p) ! p !)

                 h® 0  h n                                                                                   

 

(note : n ! = fonction factorielle de n). Puis en remarquant que :

 

     p       

C r  =  G (r +1)  / [G (r - p +1).  G (p +1)]  = [r . (r – 1) . (r – 2) …. . (r –p + 1)] / p !

                                            

                                          p          

est l'extension de : C n  =  n ! / ((n + p) ! p !)

 

On pose que la formule de la dérivée « rième » est :

 

                         1             p                                          

 f (r) (x) =  lim     — ( S  C r  (-1) p . f (x +(r – p). h ))  (1) 

                 h® 0  h r                                                                          

 

avec C r  =  G (r +1) / [ G(r - p +1). G(p +1) ]

 

- 2 -

 

Remarque :

 

Il ne faut pas, quand p tend vers l’infini, que ((r - p) . h) aille à l'infini [c. à dire que ((r – p) . h) ® µ ], car pour une fonction croissante et non bornée, cette dérivée divergerait. Explication :

 

                          1     n - 1    p                                                                       n      

 f (r) (x) =  lim      — ( S    C r . (-1) p. f (x + (r – p). h))  + (-1) n . C r  . f(x + (r – n). h)

                 h ® 0  h r  p = 0                                                                                

              n ® µ

 

                          n      

le terme (- 1).C r . f ( x+(r - n) . h) tendrait alternativement vers + ou - l'infini.       

- II ne se peut pas non plus que lim p . h = 0 car sinon la somme tendrait vers

                                                   h ® 0

                                                   n ® µ

         µ             p

f(x). (S      . C r  . (-1) p)

        p = 0

ce qui veut dire qu’obtiendrait f (x) = K .f (x) avec K = constante, ce qui est en général faux.                 

Donc, on pose lim p . h = A avec A = constante réelle non nulle (condition 1).

                        h ® 0

                        n ® µ

 

Les dérivées doivent vérifier les formules :

 

(f + g) (r) = f (r) + g (r)         (2)    et [ f (x) (r) ] (s) = f (x) (r + s)    (3)

 

les fonctions f, g qui sont généralement continues. La démonstration de (3) est évidente :

 

                                 1    µ      p                                               

 (f+g) (r) (x) =  lim      — ( S  C r .  (-1) p .[ f (x + (r – p). h )) + g(x + (r –p) . h)) ]  =

                       h ® 0  h r   p = 0                                                                                   

 

                      1    µ        p                                                   1      µ      n      

f (r) (x) = lim   — ( S    C r .  (-1) p.f(x+(r–p).h)) + lim —   (S C r .(-1) p.g(x+(r–p).h))

           h ® 0  h r  p = 0                                            h ® 0  h r  p = 0                                                                                

 

La démonstration. de (4) est un plus longue :

 

[ f (x) (r) ] (s)    =                        

           1   µ  p                                                     1    µ    p             µ   q

 lim    — (SCs .(-1)p.f (r) (x+(s–p).h))= lim  — (SCs .(-1)p.(SCs .(-1)q.f (r)(x+(s – p).h))

 h ®0 h s p = 0                                          h®0  h s p = 0

 

           1      µ  µ             p      q        

= lim   —— [(S S (-1)p+q Cs.Cr.f (x+(r+s–(p+q)).h)] 

h®0  h r+s  p = 0 q = 0                                                          

 

             1     µ                         p     q      

= lim       (S  S (-1) p+q . Cs  .Cr  . f( x + ( r + s – (p + q) . h)))

  h®0  h r+s n=0 p+q=n

 

             1            µ                    p

= lim      ——    [ S     (-1) p . C r + s    . f (x + (r + s – p). h)] .

  h ® 0  h r+s      p = 0

                         n ® µ

mais comme :

 

µ      p       p - n        n                                 

S  C s . C r     = C r + s     (démonstration de la formule disponible auprès de l’auteur).

p = 0

 

on trouve donc :

 

             1            µ                    n

= lim      ——    [ S     (-1) n . C r + s    . f (x + (r + s – n). h)]

  h ® 0  h r+s      n = 0

 

qui n’est autre que : f (r + s) (x).

 

- 3 -

 

On peut aussi démontrer que f (-1) (x) est la primitive de f et que f (x) (0)  =  f(x)

(Pour ceux qui sont intéressés, leur démonstration est disponible auprès de l’auteur).

 

 

FORMULE DE TAYLOR GENERALISEE :

 

Nous allons essayer d'étendre la généralisation de la formule de Taylor.

 

                                            p = +µ

Imaginons que f(x+ r . h) =  S      a p . h r+p . f (r+p) (x)       (4)

                                            p = -µ

  (a p) sont des constantes (pouvant être nulles) que nous allons déterminer.

Si l’on prend h infiniment petit alors dans ce cas :

 

f(x + r . h) = a- µ . f(x) (r - µ) + … + a0 . hr . f (r) (x) + … + a+ µ . f(x) (r + µ). hr +  µ

- n . f(x – (r – 1)) = a- r .( … + a0 . hr - 1 . f (r - 1) (x) + a1 . hr  . f(x) (r ) + … )

 

     2                                       2

+ Cp . f (x + (r – 2). h) = Cp (…+ a0 . hr - 2 . f (r - 2) (x) + a1 . hr - 1 . f (r - 1) (x) + a2 . hr  . f(x) (r ) + … )

 

                                                           2                                   

donc h r . f (r) (x) = [ … [ a –1 – r.a 0 + C r . a1 + …] h r-1 . f (r-1) (x)

                                                                                       2

                                                             + [a 0 – r.a 1 + C r . a 2 + …] h r . f (r) (x) … ]

 

Pour obtenir l'égalité du nombre de gauche st de droite, il faut que :

 

                      2                                       2

(a 0 – r.a 1 + C r . a 2 + … + (-1) p . C r . a p + … ) = 1  

 

                                            2                                          p

et ainsi que  (a n – r.a n+1 + C p . a n+2 + … + (-1) p . C r . a p + … ) = 0  , 

quelque soit n € Z – {0}

 

Dans le cas r = 1, on retrouve la formule de Taylor et alors en identifiant la formule de Taylor avec la formule (4), on trouve a n = 0 si n € Z , et ( a n = 1 / (p+1) !  ) , 

si  p € Z +

 

On pose donc pour r = 1,   a p = 1 / G (r + 2)

    

Dans le cas ou r # 1, on généralise en écrivant  a p = [g(r)/ G(p + r + 1)] 

avec g(1) = 1.

                                                                              

 

La formule (5) devient :

                                                                                             p

g(r) ( (1 / G (r + 1)) – (r / G (r + 2)) + … ( (-1) p . C r / G (r + p + 1) )+ … ) = 1   (7)

 

 

et la formule (7) devient :

 

                                                                                     p

g(r) ((1/ G (r+ n+1)) – (r/ G(r+n+2)) + … ((-1) p . C r / G (r+ n+p + 1))+ …) = 1   (8)

 

 

et si cela est vrai alors : f (x + r . h) = g ( r) . [  S (h /  G (r+ + p + 1))  . f (r+p) (x) ]

 

 

Cette formule de Taylor généralisée n'a de sens que si la fonction f (r+p) (x)  est bien déterminée (ce que nous cherchons actuellement à voir) .

 

Et nous essayons de déterminer si la formule (8) est vraie :

 

C’est à dire si 

[(1/ G (r + n + 1)) – (r / G(r + n + 2)) + … ((-1) p . C r / G (r + n + p + 1))] = 0

 

Intérêt :

 

Ces recherches auraient pour but de trouver un moyen de calcul assez puissant pour résoudre certaines équations différentielles (non solvable actuellement), car il aurait été établi par exemple que, ci les dérivées entières existent, les fonctions de Bessel entre autres, seraient les dérivées non entières des fonctions sinus (+).

Benjamin LISAN

 

( (+) Note / commentaire de 2004 : je pense que je m’avançais beaucoup à l’époque concernant cette affirmation).